Il passe par le cours Simon avant d’être admis au Conservatoire national supérieur d'art dramatique (Promo 1959), puis d'être engagé à la Comédie-Française. Robert Etcheverry est marié de 1963 à 1983 à l'actrice Bérangère Vattier. Il est le frère de Jean-Pierre Etcheverry, avant-centre international de 1959 à 1970 de l'équipe de France de handball et le père d'Éric Etcheverry, acteur français spécialisé dans le doublage.